From 7cbfcbc2121b16be1a02ef287ba53c9d8f32c3e0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: VectorKappa Date: Fri, 10 Mar 2023 11:43:10 +0100 Subject: [PATCH] vault backup: 2023-03-10 11:43:10 --- .../obsidian-completr/scanned_words.txt | 28 ++++++ .obsidian/workspace.json | 67 ++++++++------- AiSD/Untitled.md | 0 .../1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md | 86 +++++++++++++++++++ 4 files changed, 152 insertions(+), 29 deletions(-) create mode 100644 AiSD/Untitled.md create mode 100644 AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt index a8ea3a2..7423dfb 100644 --- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt @@ -1347,6 +1347,7 @@ Przyrządy Pierwsza Please Poprzednie +Pomocnicza obj oh oq @@ -10684,6 +10685,7 @@ selectedIndividualArrows startBindingEl sumy stykach +sumacyjnego JQ Js JX @@ -21258,6 +21260,9 @@ Setting See Spacing Selected +Sumy +Suma +Szereg Rect Re Resources @@ -22565,6 +22570,7 @@ REO RAU Raw Rozdzielność +Rekurencyjny Navigation No Nj @@ -30534,6 +30540,7 @@ intersectA intersectElementWithLine iloczynu idempotentności +implikacja vK vE vD @@ -33136,6 +33143,7 @@ Druga Download Direction Disco +Domowe dA dET dg @@ -37201,6 +37209,8 @@ catch children copyViewElementsToEAforEditing createElement +ciągu +czynnika bI bx bM @@ -41192,6 +41202,7 @@ arrow arrowEl appendChild allElements +arytmetycznego uH uS uVn @@ -43857,6 +43868,7 @@ Można Metody MODEL Math +Matematyczna lauG lc lS @@ -47790,6 +47802,7 @@ Informacji Ile Inaczej Internet +Indukcja qF qIF qy @@ -50363,6 +50376,7 @@ Wiv Wbi Wirtha Wynikają +Wieża rM ra rv @@ -51733,6 +51747,9 @@ root resultGraph recalculateStartPointOfLine recalculateEndPointOfLine +równania +rekurencyjne +rekurencyjny tI tU ta @@ -55772,6 +55789,9 @@ placement parse points przemienności +prawdziwym +prawdziwa +perturbacji HD Ho Hg @@ -57009,6 +57029,7 @@ HIw HHMb Hybrydowo Huffmana +Hanoi UDq Ue UV @@ -60953,6 +60974,8 @@ ZMuPdZsY Związek Zawartość Znajdź +Zmienna +Zadania mD ma mj @@ -64957,6 +64980,7 @@ groupElDistanceY gapValue getViewElements gap +geometrycznego kXk kQ kx @@ -67700,6 +67724,8 @@ hoXp hST href head +harmoniczny +harmoniczna zC zZ zZes @@ -69037,6 +69063,8 @@ zakresu zakresowy zgrozo zadanie +zdaniem +zaburzania ÜI Üj ÜX diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index 8dc372d..b52c3fb 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -6,7 +6,6 @@ { "id": "6cac8048b3de6e65", "type": "tabs", - "dimension": 51.910828025477706, "children": [ { "id": "98355ea40f905ecf", @@ -14,30 +13,38 @@ "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Całki/Zadanie 1.md", + "file": "AiSD/AiSD.md", + "mode": "source", + "source": false + } + } + }, + { + "id": "7b41186789a5e2e9", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "AiSD/Untitled.md", + "mode": "source", + "source": false + } + } + }, + { + "id": "423a9e5425513d9b", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md", "mode": "source", "source": false } } } - ] - }, - { - "id": "d3cf05897c929f6a", - "type": "tabs", - "dimension": 48.089171974522294, - "children": [ - { - "id": "526908462b34b2d5", - "type": "leaf", - "state": { - "type": "pdf", - "state": { - "file": "AMiAL/!Materiały/calki_1.pdf" - } - } - } - ] + ], + "currentTab": 2 } ], "direction": "vertical" @@ -87,7 +94,8 @@ } ], "direction": "horizontal", - "width": 300 + "width": 300, + "collapsed": true }, "right": { "id": "49ac675547771287", @@ -103,7 +111,7 @@ "state": { "type": "backlink", "state": { - "file": "AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Całki/Zadanie 1.md", + "file": "AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md", "collapseAll": false, "extraContext": false, "sortOrder": "alphabetical", @@ -120,7 +128,7 @@ "state": { "type": "outgoing-link", "state": { - "file": "AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Całki/Zadanie 1.md", + "file": "AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md", "linksCollapsed": false, "unlinkedCollapsed": true } @@ -143,7 +151,7 @@ "state": { "type": "outline", "state": { - "file": "AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Całki/Zadanie 1.md" + "file": "AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md" } } }, @@ -201,12 +209,16 @@ "obsidian-excalidraw-plugin:Create new drawing": false } }, - "active": "98355ea40f905ecf", + "active": "423a9e5425513d9b", "lastOpenFiles": [ + "AiSD/Untitled.md", + "AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md", + "AiSD/Ćwiczenia", + "AiSD/AiSD.md", + "AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Całki/Zadanie 1.md", "AMiAL/!Materiały/calki_1.pdf", "AMiAL/Wykłady/2 SEM/Podstawienie Eulera.md", "AMiAL/Wykłady/Wykłady.md", - "AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Całki/Zadanie 1.md", "AMiAL/AMiAL.md", "TC/ALGEBRA BOOLOWSKA.md", "TC/Ćwiczenia/1. Algebra Boola.md", @@ -230,9 +242,7 @@ "!Załączniki/2. hgw 2023-03-08 08.41.55.excalidraw.md", "!Załączniki/2. hgw 2023-03-08 08.32.48.excalidraw.md", "!Załączniki/Excalidraw/Scripts/Downloaded/Repeat Elements.svg", - "!Załączniki/Excalidraw/Scripts/Downloaded/Repeat Elements.md", "!Załączniki/Excalidraw/Scripts/Downloaded/Elbow connectors.svg", - "!Załączniki/Excalidraw/Scripts/Downloaded/Elbow connectors.md", "!Załączniki/Excalidraw/Scripts/Downloaded/Convert freedraw to line.svg", "!Załączniki/Excalidraw/Scripts/Downloaded/Connect elements.svg", "!Załączniki/Excalidraw/Scripts/Downloaded/Auto Layout.svg", @@ -245,7 +255,6 @@ "EiM", "AMiAL/Wykłady/2 SEM", "TIiK/Ćwiczenia", - "TIiK/Wykład", "TC/Untitled.canvas" ] } \ No newline at end of file diff --git a/AiSD/Untitled.md b/AiSD/Untitled.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md b/AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md new file mode 100644 index 0000000..51d9553 --- /dev/null +++ b/AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md @@ -0,0 +1,86 @@ +--- +Date: [20230310110354] +--- +# Problem Rekurencyjny - Wieża Hanoi + + +|n|T(n)| +|-|-| +|1|1| +|2|3| +|3|7| +|4|15| +|...|...| +|10|1023| + +$$T(n)=\begin{cases}0\ dla\ n=0\\2\cdot T_{n-1} + 1\ dla\ n>0 \\ \end{cases}$$ + +$$T_{n+1}=2^{n+1}-1$$ +$$L=T_{n+1}=2\cdot T_{n}+1=2\cdot(2^{n}-1)+1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1=P$$ +# Sumy +## Notacja +$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{1\leqslant k\leqslant n}a_k$$ +## Własności +$$\begin{aligned} +&\sum\limits_{k\in K}ca_{k}=c\sum\limits_{k\in K}a_{k}\\\\ +&\sum\limits_{k\in K}(a_{k}+b_{k})=\sum\limits_{k\in K}a_{k}+\sum\limits_{k\in K}b_{k}\\\\ +&\sum\limits_{k\in K}a_{k}=\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)} +\end{aligned}$$ +## Suma ciągu arytmetycznego +$$\sum\limits_{k=0}^{n}a+bk=\cfrac{a+(a+bn)}{2}(n+1)$$ +## Suma ciągu geometrycznego +$$\sum\limits_{0\leqslant k\leqslant n}aq^{k}=a\cfrac{1-q^{n-1}}{1-q}, q\ne 1$$ +## Sumy jako równania rekurencyjne +$$ +S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\begin{cases} +a_{0},\ gdy\ n=0 \\ +S_{n-1}+a_{n},\ gdy\ n>0 +\end{cases} +$$ +# Szereg harmoniczny, n-ta liczba harmoniczna +$$H_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\approx\ln n+\gamma$$ +$$\lim_{n\rightarrow\infty}(H_{n}-\ln n)=\gamma\approx0.5772156$$ + +# Problem rekurencyjny - metody +## Indukcja Matematyczna +1) $\exists_{n_{0}\in N}$ P($n_0$) jest zdaniem prawdziwym +2) $\forall _{n\geqslant n_{0}}$ prawdziwa jest implikacja P($n$) $\Rightarrow$ P($n+1$) +$$\Downarrow$$ +$\forall _{n\geqslant n_{0}}$ P(n)jest zdaniem prawdziwym + + +$$\begin{gathered} +1+2+3+4+n=\cfrac{1+n}{2}n\\ +1) n_{0}=1 \Rightarrow +\end{gathered}$$ +$$1+3+2n-1=n^{2}$$ +$$1^{2}+2^{2}+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ +## Zmienna Pomocnicza +$$\begin{aligned} +T_{n}+1&=\begin{cases} +1\ dla\ n=0\\ +2\cdot(T_{n-1}+1)\ dla\ n>0 +\end{cases} +\\ +U_{n}&=T_{n}+1\\ +U_{n-1}&=T_{n-1}+1 +\end{aligned}$$ +## Metoda zaburzania / perturbacji +$$ +\begin{gathered} + + +S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}(a_{k})=a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n}\\ +\sum\limits^{n}_{k=0}a_{k}+a_{n+1}=a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n}+a_{n+1}=a_{0}+\sum\limits^{n}_{k=0}a_{k+1} +\end{gathered} +$$ +## Równania rekurencyjne jako sumy +## Metoda czynnika sumacyjnego +$$aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA$$ + + + + + +# Zadania Domowe +$$S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}k\cdot2^{k}$$ \ No newline at end of file