Initial commit

AMiAL/Wykłady/1 SEM/20221014083923.md

@@ -0,0 +1,39 @@
+Oznaczenia zbiorów:
+
+-   ℕ - liczby naturalne
+-   ℤ - liczby całkowite
+-   ℝ - liczby rzeczywiste
+-   ℚ - liczby wymierne
+-   ℂ - liczby zespolone
+
+$\land$ - Koniunkcja - AND
+
+$\lor$ - Alternatywa - OR
+
+$\Rightarrow$ - $\lnot p \lor q$ - 
+
+$\Leftrightarrow$ - Równoważność - XAND
+
+## Funkcja zdaniowa
+
+𝜙(x) wyrażenie ze zmienną x z
+
+∀ - kwantyfikator ogólny - All - forall
+
+∀x :∈ D 𝜙(x)
+
+∃ - kwantyfikator szczegółowy - Exists
+
+$\Re$ - realis
+
+$\Im$ - imaginaris
+
+płaszczyzna gaussa
+
+p 
+
+zbiór jest ograniczony z góry jeżeli
+
+3i - liczba czysto urojona
+
+$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

AMiAL/Wykłady/1 SEM/20221021083844.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+
+## Wzór Moivre'a:
+$z^{n =}r^n(\cos(n\phi)+i \sin(n\phi))$ gdzie $n\in\mathbb{N}$ oraz $z\ne0$
+
+Liczbę $w \in \mathbb{C}$ nazywamy pierwiastkiem stopnia n-tego($n\in\mathbb{N}$) z liczby $z\in\mathbb{C}$ jeśli $z^n = w$
+
+## Twierdzenie:
+- Każda liczba zespolona różna od 0 ma dokładnie n pierwiastków stopnia n
+- Pierwiastki stopnia n z danej różnej od 0 liczby zespolonej leżą na okręgu o środku w liczbie 0 i promieniu $\sqrt[n]{|z|}$ jeśli połączymy te pierwiastki, otrzymamy n-kąt foremny. 
+
+
+> [!NOTE] Zasadnicze Twierdzenie Algebry
+> Każdy wielomian stopnia $n$ o współczynnikach zespolonych ma $n$ pierwiastków zespolonych
+
+$z=\frac{-b\pm\Delta_0}{2a}$
+$$
+\begin{gathered}
+
+z^{2}+6iz-9+2i=0 \\
+\Delta = (+6i)^2-4*1*(-9+2i)=-36+36-8i=-8i \\
+|\Delta| = 8 \\
+\arg(\Delta) = \frac{3\pi}{2} \\
+\Delta_{0}= \sqrt{8}(\cos-\frac{\frac{3\pi} {2}}{2}+i \sin\frac{\frac{3\pi}{2}}{2})=2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=-2+2i
+\\\\
+z_{0}= \frac{-6i-(-2+2i)}{2} = 1-4i\\
+z_{1}= \frac{-6i+(-2+2i)}{2} = -1-2i
+\end{gathered}
+$$