vault backup: 2023-06-11 14:44:20

TIiK/Wykład/4..md

@@ -1,5 +1,5 @@
 1100 1000 1110 1001 101 | 11
-Dane jest sekwencja. Zakładając że 19 symboli wystarcza do zapisania
+Dana jest sekwencja. Zakładając że 19 symboli wystarcza do zapisania
 Entropia w przypadku bezpamięciowego źródła:
 p0=9/19
 p1=10/19

TIiK/Ćwiczenia/3. Hamming.md

@@ -0,0 +1,136 @@
+Podaj macierz generującą wydłużony kod Haminga (8,4)
+$H(8,4)$          $G=?$
+
+$$\begin{gather}
+T=[P\ \ E]\\
+G=[E\ \ P^{T}]
+\end{gather}$$
+$n=8,\ k=4$
+$m=n-k=4$
+$n=1;2;3;8$
+
+$$T= \begin{bmatrix}
+1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
+\end{bmatrix}
+$$
+$w_{1}=w_{3}\oplus w_{5} \oplus w_{7}$
+$w_{2}=w_{3}\oplus w_{6} \oplus w_{7}$
+$w_{4}=w_{5}\oplus w_{6} \oplus w_{7}$
+$w_{8}=\oplus\sum w_{n}$
+
+$n=1_{10}=0001_{2}$
+$\overline{w_{1}}= 1101001$
+
+$n=2_{10}=0010_{2}$
+$\overline{w_{2}}=01010101$
+
+$n=4_{10}=0100_{2}$
+$\overline{w_{4}}=10011001$
+
+$n=8_{10}=1000_{2}$
+$\overline{w_{8}}=11100001$
+
+$$G= \begin{bmatrix}
+\overline{w_{8}} \\ \overline{w_{4}} \\ \overline{w_{2}} \\ \overline{w_{1}} \\ 
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0
+\end{bmatrix}$$
+
+$n=6_{10}=0110_{2}$
+$$\overline{w_{6}}=n\cdot G= \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}=11001100$$
+
+$\overline{w_{7}}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}G=00011110$
+
+$\overline{w_{13}}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix}G=10101010$
+
+
+
+
+## Oblicz prawdopodobieństwo błędnej decyzji dekodera kodu Hamminga (7,4) jeżeli prawdopodobieństwo przekłamania bitu wynosi $10^{-3}$, błędy są niezależne.
+ed = erroneous decision
+
+
+$H(7,4)$     $p=10^{-3}$
+$P_{OK}=(0.999)^{7}=(1-p)^{7}$
+$P_{e1}=(^{7}_{1})p^{1}\cdot (1-p)^{6}=7\cdot 10^{-3} \cdot (0.999)^{6}\approx 1$
+$P_{ed}=1-P_{OK}-P_{e1}=P_{e2}+\dots+P_{e7}$
+$P_{ed}\approx P_{e2}=(^7_2)=p^2(1-p)^5=\frac{7!}{2!5!}10^{-6}\cdot(0.999)^5=21\cdot 10^{-6}\cdot(0.999)^5\approx21\cdot 10^{-6}$
+
+
+$H(8,4)$     $p=10^{-3}$
+$P_{OK}=(1-p)^{8}\approx 0.992$
+$P_{e1}=(^{8}_{1})p^{1}(1-p)^{7}\approx 0.008$
+$P_{ed}=1-P_{OK}-P_{e1}-P_{e2}\approx 56\cdot 10^{-9}$
+
+
+## Skrócone:
+$s.k.H(6,3)$
+$n=6$, ale syndrom $\in\left<0;7\right)$, co oznacza błąd na "7" pozycji.
+Błąd podwójny, ale tylko 1 z $\left(^{6}_{2}\right)$
+
+$P_{ed}=\left[\left(^{6}_{2}\right)-1\right]p^{2}(1-p)^{4}+P_{e3}+P_{e4}+\dots\approx14\cdot 10^{-6}$
+
+## Dany jest kod z bitem parzystości o parametrach (8,7)
+
+m=1
+$P_{ed}=\sum\limits_{n=1}^{n+1} P_{en}\approx28\cdot10^{-6}$
+
+
+$h=101_{2}$
+$g=1101_{2}$
+$$\begin{gather}
+h\cdot g = 1101\cdot 101=111001
+\end{gather}$$
+---
+$$\begin{gather}
+h(x)=x^{2}+1\\
+g(x)=x^{3}+x^{2}+1
+
+h(x)g(x)=(x^{2}+1)(x^{3}+x^{2}+1)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{0}= 111001
+
+\end{gather}
+
+$$
+
+## Dany jest wielomian generujący $g(x)=x^3+x+1$, który generuje kod cykliczny o parametrach (7,4). Podaj macierz generującą i podaj przykładowe ciągi dla
+### Kodu cyklicznego nierozdzielnego
+$$\begin{gather}
+w(x)=h(x)\cdot g(x)\\
+\\
+h=3_{10}=0011_{2}\\
+h(x)=x\oplus1\\
+\overline{w_{3}}(x)=(x\oplus1)(x^{3}\oplus x\oplus 1)=x^{4}\oplus x^{3} \oplus x^{2} \oplus 1 = 00\|11101
+\\
+\\
+1011\cdot 0011=0011101
+\\
+\\
+\\
+\overline{w_{1}}= 0001011\\
+\overline{w_{2}}= 0010110\\
+\overline{w_{4}}= 0101100\\
+\overline{w_{8}}= 1011000\\
+
+
+G=\begin{bmatrix}
+w_{8} \\ w_{4} \\ w_{2} \\ w_{1} 
+\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
+1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1
+\end{bmatrix}
+\\
+\overline{w_{14}}=[1110]G=1100010
+
+\end{gather}$$
+Minimalna waga = 3 → $d_{min}=3$
+Cecha kodów cyklicznych to shiftowanie słowa w lewo - g(x) razy pozycja w formie wielomianu
+
+### Kodu cyklicznego rozdzielnego
+$g(x)=x^3 +x +1$
+
+$$
+\begin{gather}
+w(x)=x^{k-1}\cdot h(x)+r(x)\\
+r(x)=x^{k-1}\cdot h(x)\mod{g(x)}
+
+\end{gather}
+$$