# Zbadać monotoniczność podanych ciągów
## (1)
$$\begin{aligned}
a_{n}&=2n^{2}+4n \\
a_{n+1}&= 2(n+1)^{2}+4(n+1)\\
a_{n+1}&= 2n^{2}+4n+2+4n+4 \\
a_{n+1}&= 2n^{2}+8n+6 \\
a_{n+1}-a_{n}&= 2n^{2}+8n+6-(2n^{2}+4n)\\
a_{n+1}-a_{n}&=4n+6
\end{aligned}$$
Ciąg jest monotoniczny, wszystkie jego wyrazy są dodatnie.
## (2)
$$\begin{aligned}
a_n&=n^{2}-8n+15\\
a_{n+1}&=(n+1)^{2} - 8(n+1)+15 \\
a_{n+1}&=n^{2}-6n+8 \\
a_{n+1}-a_{n}&=(n^{2}-6n+8)-(n^{2}-8n +15)\\
a_{n+1}-a_{n}&=2n-7
\end{aligned}$$
Ciąg jest niemonotoniczny, ponieważ znaki się zmieniają w jego trakcie.

## (3)
$$\begin{aligned}
a_{n}&= \tfrac{n-1}{n+3} \\
a_{n+1}&=\tfrac{n+1-1}{n+1+3} \\
a_{n+1}&=\tfrac{n}{n+4}\\
a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n}{n+4}-\tfrac{n-1}{n+3}\\
a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n(n+3)}{(n+4)(n+3)}-\tfrac{(n+4)(n-1)}{(n+3)(n+4)} \\
a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n^{2}+3n}{n^{2}+7n+12}-\tfrac{n^{2}-3n-4}{n^{2}+7n+12}\\
a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n^{2}+3n-(n^{2}-3n-4)}{n^{2}+7n+12}\\
a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{6n+4}{n^{2}+7n+12}\\
\end{aligned}$$
Ciąg jest monotoniczny; dąży do 0
## (4)
## (5)
## (6)
## (7)