Podaj macierz generującą wydłużony kod Haminga (8,4)
$H(8,4)$          $G=?$

$$\begin{gather}
T=[P\ \ E]\\
G=[E\ \ P^{T}]
\end{gather}$$
$n=8,\ k=4$
$m=n-k=4$
$n=1;2;3;8$

$$T= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
$w_{1}=w_{3}\oplus w_{5} \oplus w_{7}$
$w_{2}=w_{3}\oplus w_{6} \oplus w_{7}$
$w_{4}=w_{5}\oplus w_{6} \oplus w_{7}$
$w_{8}=\oplus\sum w_{n}$

$n=1_{10}=0001_{2}$
$\overline{w_{1}}= 1101001$

$n=2_{10}=0010_{2}$
$\overline{w_{2}}=01010101$

$n=4_{10}=0100_{2}$
$\overline{w_{4}}=10011001$

$n=8_{10}=1000_{2}$
$\overline{w_{8}}=11100001$

$$G= \begin{bmatrix}
\overline{w_{8}} \\ \overline{w_{4}} \\ \overline{w_{2}} \\ \overline{w_{1}} \\ 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$$

$n=6_{10}=0110_{2}$
$$\overline{w_{6}}=n\cdot G= \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}=11001100$$

$\overline{w_{7}}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}G=00011110$

$\overline{w_{13}}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix}G=10101010$




## Oblicz prawdopodobieństwo błędnej decyzji dekodera kodu Hamminga (7,4) jeżeli prawdopodobieństwo przekłamania bitu wynosi $10^{-3}$, błędy są niezależne.
ed = erroneous decision


$H(7,4)$     $p=10^{-3}$
$P_{OK}=(0.999)^{7}=(1-p)^{7}$
$P_{e1}=(^{7}_{1})p^{1}\cdot (1-p)^{6}=7\cdot 10^{-3} \cdot (0.999)^{6}\approx 1$
$P_{ed}=1-P_{OK}-P_{e1}=P_{e2}+\dots+P_{e7}$
$P_{ed}\approx P_{e2}=(^7_2)=p^2(1-p)^5=\frac{7!}{2!5!}10^{-6}\cdot(0.999)^5=21\cdot 10^{-6}\cdot(0.999)^5\approx21\cdot 10^{-6}$


$H(8,4)$     $p=10^{-3}$
$P_{OK}=(1-p)^{8}\approx 0.992$
$P_{e1}=(^{8}_{1})p^{1}(1-p)^{7}\approx 0.008$
$P_{ed}=1-P_{OK}-P_{e1}-P_{e2}\approx 56\cdot 10^{-9}$


## Skrócone:
$s.k.H(6,3)$
$n=6$, ale syndrom $\in\left<0;7\right)$, co oznacza błąd na "7" pozycji.
Błąd podwójny, ale tylko 1 z $\left(^{6}_{2}\right)$

$P_{ed}=\left[\left(^{6}_{2}\right)-1\right]p^{2}(1-p)^{4}+P_{e3}+P_{e4}+\dots\approx14\cdot 10^{-6}$

## Dany jest kod z bitem parzystości o parametrach (8,7)

m=1
$P_{ed}=\sum\limits_{n=1}^{n+1} P_{en}\approx28\cdot10^{-6}$


$h=101_{2}$
$g=1101_{2}$
$$\begin{gather}
h\cdot g = 1101\cdot 101=111001
\end{gather}$$
---
$$\begin{gather}
h(x)=x^{2}+1\\
g(x)=x^{3}+x^{2}+1

h(x)g(x)=(x^{2}+1)(x^{3}+x^{2}+1)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{0}= 111001

\end{gather}

$$

## Dany jest wielomian generujący $g(x)=x^3+x+1$, który generuje kod cykliczny o parametrach (7,4). Podaj macierz generującą i podaj przykładowe ciągi dla
### Kodu cyklicznego nierozdzielnego
$$\begin{gather}
w(x)=h(x)\cdot g(x)\\
\\
h=3_{10}=0011_{2}\\
h(x)=x\oplus1\\
\overline{w_{3}}(x)=(x\oplus1)(x^{3}\oplus x\oplus 1)=x^{4}\oplus x^{3} \oplus x^{2} \oplus 1 = 00\|11101
\\
\\
1011\cdot 0011=0011101
\\
\\
\\
\overline{w_{1}}= 0001011\\
\overline{w_{2}}= 0010110\\
\overline{w_{4}}= 0101100\\
\overline{w_{8}}= 1011000\\


G=\begin{bmatrix}
w_{8} \\ w_{4} \\ w_{2} \\ w_{1} 
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\\
\overline{w_{14}}=[1110]G=1100010

\end{gather}$$
Minimalna waga = 3 → $d_{min}=3$
Cecha kodów cyklicznych to shiftowanie słowa w lewo - g(x) razy pozycja w formie wielomianu

### Kodu cyklicznego rozdzielnego
$g(x)=x^3 +x +1$

$$
\begin{gather}
w(x)=x^{k-1}\cdot h(x)+r(x)\\
r(x)=x^{k-1}\cdot h(x)\mod{g(x)}

\end{gather}
$$