---
Date: [20230310110354]
---
# Problem Rekurencyjny - Wieża Hanoi


|n|T(n)|
|-|-|
|1|1|
|2|3|
|3|7|
|4|15|
|...|...|
|10|1023|

$$T(n)=\begin{cases}0\ dla\ n=0\\2\cdot T_{n-1} + 1\ dla\ n>0 \\ \end{cases}$$

$$T_{n+1}=2^{n+1}-1$$
$$L=T_{n+1}=2\cdot T_{n}+1=2\cdot(2^{n}-1)+1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1=P$$
# Sumy
## Notacja
$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{1\leqslant k\leqslant n}a_k$$
## Własności
$$\begin{aligned}
&\sum\limits_{k\in K}ca_{k}=c\sum\limits_{k\in K}a_{k}\\\\
&\sum\limits_{k\in K}(a_{k}+b_{k})=\sum\limits_{k\in K}a_{k}+\sum\limits_{k\in K}b_{k}\\\\
&\sum\limits_{k\in K}a_{k}=\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)}
\end{aligned}$$
## Suma ciągu arytmetycznego
$$\sum\limits_{k=0}^{n}a+bk=\cfrac{a+(a+bn)}{2}(n+1)$$
## Suma ciągu geometrycznego
$$\sum\limits_{0\leqslant k\leqslant n}aq^{k}=a\cfrac{1-q^{n-1}}{1-q}, q\ne 1$$
## Sumy jako równania rekurencyjne
$$
S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\begin{cases}
a_{0},\ gdy\ n=0 \\
S_{n-1}+a_{n},\ gdy\ n>0
\end{cases}
$$
# Szereg harmoniczny, n-ta liczba harmoniczna
$$H_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\approx\ln n+\gamma$$
$$\lim_{n\rightarrow\infty}(H_{n}-\ln n)=\gamma\approx0.5772156$$

# Problem rekurencyjny - metody
## Indukcja Matematyczna
1) $\exists_{n_{0}\in N}$ P($n_0$) jest zdaniem prawdziwym
2) $\forall _{n\geqslant n_{0}}$ prawdziwa jest implikacja P($n$) $\Rightarrow$ P($n+1$)
$$\Downarrow$$
$\forall _{n\geqslant n_{0}}$ P(n)jest zdaniem prawdziwym


$$\begin{gathered}
1+2+3+4+n=\cfrac{1+n}{2}n\\
1) n_{0}=1 \Rightarrow 
\end{gathered}$$
$$1+3+2n-1=n^{2}$$
$$1^{2}+2^{2}+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
## Zmienna Pomocnicza
$$\begin{aligned}
T_{n}+1&=\begin{cases}
1\ dla\ n=0\\
2\cdot(T_{n-1}+1)\ dla\ n>0
\end{cases}
\\
U_{n}&=T_{n}+1\\
U_{n-1}&=T_{n-1}+1
\end{aligned}$$
## Metoda zaburzania / perturbacji
$$
\begin{gathered}


S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}(a_{k})=a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n}\\
\sum\limits^{n}_{k=0}a_{k}+a_{n+1}=a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n}+a_{n+1}=a_{0}+\sum\limits^{n}_{k=0}a_{k+1}
\end{gathered}
$$
## Równania rekurencyjne jako sumy
## Metoda czynnika sumacyjnego
$$aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA$$





# Zadania Domowe
$$S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}k\cdot2^{k}$$