1.0 KiB
Zbadać monotoniczność podanych ciągów
(1)
$$\begin{aligned} a_{n}&=2n^{2}+4n \ a_{n+1}&= 2(n+1)^{2}+4(n+1)\ a_{n+1}&= 2n^{2}+4n+2+4n+4 \ a_{n+1}&= 2n^{2}+8n+6 \ a_{n+1}-a_{n}&= 2n^{2}+8n+6-(2n^{2}+4n)\ a_{n+1}-a_{n}&=4n+6 \end{aligned}$$ Ciąg jest monotoniczny, wszystkie jego wyrazy są dodatnie.
(2)
$$\begin{aligned} a_n&=n^{2}-8n+15\ a_{n+1}&=(n+1)^{2} - 8(n+1)+15 \ a_{n+1}&=n^{2}-6n+8 \ a_{n+1}-a_{n}&=(n^{2}-6n+8)-(n^{2}-8n +15)\ a_{n+1}-a_{n}&=2n-7 \end{aligned}$$ Ciąg jest niemonotoniczny, ponieważ znaki się zmieniają w jego trakcie.
(3)
$$\begin{aligned} a_{n}&= \tfrac{n-1}{n+3} \ a_{n+1}&=\tfrac{n+1-1}{n+1+3} \ a_{n+1}&=\tfrac{n}{n+4}\ a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n}{n+4}-\tfrac{n-1}{n+3}\ a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n(n+3)}{(n+4)(n+3)}-\tfrac{(n+4)(n-1)}{(n+3)(n+4)} \ a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n^{2}+3n}{n^{2}+7n+12}-\tfrac{n^{2}-3n-4}{n^{2}+7n+12}\ a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n^{2}+3n-(n^{2}-3n-4)}{n^{2}+7n+12}\ a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{6n+4}{n^{2}+7n+12}\ \end{aligned}$$ Ciąg jest monotoniczny; dąży do 0