Polsl-Notes/AMiAL/Wykłady/1 SEM/20221021083844.md

Wzór Moivre'a:

z^n = r^n(\cos(n\phi)+i \sin(n\phi)) gdzie n\in\mathbb{N} oraz z\ne0

Liczbę w \in \mathbb{C} nazywamy pierwiastkiem stopnia n-tego(n\in\mathbb{N}) z liczby z\in\mathbb{C} jeśli z^n = w

Twierdzenie:

• Każda liczba zespolona różna od 0 ma dokładnie n pierwiastków stopnia n
• Pierwiastki stopnia n z danej różnej od 0 liczby zespolonej leżą na okręgu o środku w liczbie 0 i promieniu \sqrt[n]{|z|} jeśli połączymy te pierwiastki, otrzymamy n-kąt foremny.

[!NOTE] Zasadnicze Twierdzenie Algebry Każdy wielomian stopnia n o współczynnikach zespolonych ma n pierwiastków zespolonych

z=\frac{-b\pm\Delta_0}{2a}

\begin{gathered}

z^{2}+6iz-9+2i=0 \\
\Delta = (+6i)^2-4*1*(-9+2i)=-36+36-8i=-8i \\
|\Delta| = 8 \\
\arg(\Delta) = \frac{3\pi}{2} \\
\Delta_{0}= \sqrt{8}(\cos-\frac{\frac{3\pi} {2}}{2}+i \sin\frac{\frac{3\pi}{2}}{2})=2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=-2+2i
\\\\
z_{0}= \frac{-6i-(-2+2i)}{2} = 1-4i\\
z_{1}= \frac{-6i+(-2+2i)}{2} = -1-2i
\end{gathered}