vault backup: 2023-10-03 08:10:20

AMiAL/ICT/Ćwiczenia/1 SEM/20221014121234.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+# 1.
+
+3)
+
+$z = ( 1 - i )^6 = [(1-i)^2]^3= (1^2 - 2i +i^2)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = -8\times-i= 8i$
+
+$\Re{z}=0$
+$\Im{z}=8$
+
+$\bar z = -8i$
+
+$|z| = \sqrt{0^2+8^2}= \sqrt{64} = 8$
+
+  
+9)  
+$z = \frac{20-5i}{(1-2i)(i+3)}=\frac{20-5i}{i+3-2i^2-6i}=\frac{20-5i}{5-5i} \times \frac{5+5i}{5+5i}=\frac{100+40i-25i+25}{50}=\frac{125+15i}{50}=\frac{25+3i}{10}=2.5+0.3i$
+$\Re = 2.5$
+$\Im=0.3$ 
+$\bar z = 2.5 + 0.3i$  
+$|z|=\sqrt{2.5^2+0.3^2} = \sqrt{12.5+0.09} = 2.51793566240283$
+![[li_zesp.pdf]]

AMiAL/ICT/Ćwiczenia/1 SEM/20221021120444.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+5)
+$$\begin{aligned}
+\frac{16-3i}{7+2i}-3&=\frac{106-53i}{53}-3\\
+2-i-3&=-1-i\\
+
+\end{aligned}$$(12) {z ∈ C : 0 < arg(z
+3
+) < π, 1 < |z| < 3}
+
+![[20221021120444 2022-10-28 11.01.18.excalidraw]]

AMiAL/ICT/Ćwiczenia/1 SEM/20221118121118.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+$$\begin{aligned}
+a_n&=n^{2}-8n+15\\
+a_{n+1}&=(n+1)^{2} - 8(n+1)+15 \\
+a_{n+1}&=n^{2}-6n+8 \\
+a_{n+1}-a_{n}&=(n^{2}-6n+8)-(n^{2}-8n +15)\\
+a_{n+1}-a_{n}&=2n-7
+\end{aligned}$$
+Ciąg jest niemonotoniczny, ponieważ znaki się zmieniają w jego trakcie.

AMiAL/ICT/Ćwiczenia/1 SEM/20221123123903.md

@@ -0,0 +1 @@
+$\lim_{n\rightarrow \infty} 5$

AMiAL/ICT/Ćwiczenia/1 SEM/20221202121227.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+$$
+\begin{gathered}
+f(x)=\begin{cases}
+\cfrac{2x^{2}-x-1}{x-1}  &x\ne1\\
+-1 &x = 1
+\end{cases}\\\\\\
+
+D_{f}=\mathbb{R}\\
+\lim_{x\rightarrow1}\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}=^{[\frac{0}{0}]}\lim_{x\rightarrow1}\frac{2(x-1)(x+\frac{1}{2})}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}2x+1=3\\
+
+f(1)=-1\\
+\Delta=1+8\\
+\sqrt{\Delta}=3\\
+x_{1}=1\\
+x_{2}= -\frac{1}{2}
+\end{gathered}
+
+$$

AMiAL/ICT/Ćwiczenia/1 SEM/20221209121051.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+6)
+$$\begin{align}
+y &= \frac{2}{\sqrt[6]{x^{5}}}-\frac{x}{3}+\frac{\sqrt[4]{x^{3}}}{2}
+\\
+y &= \frac{2}{(x^{5})^{\frac{1}{6}}}-\frac{x}{3}+\frac{(x^3)^{\frac{1}{4}}}{2}
+\\
+
+y' &= 2(x^\frac{-11}{6})^{-\frac{5}{6}}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*x^{-\frac{1}{4}}
+\\
+
+y' &= NaN
+\end{align}$$
+
+Można wyznaczyć pochodną tej funkcji za pomocą reguły różniczkowania złożonych funkcji. W szczególności, jeśli $f$ i $g$ są dwoma funkcjami, to pochodną funkcji $y=f(g(x))$ jest
+
+$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
+
+Możemy zastosować tę regułę do każdego składnika funkcji wyjściowej. W tym celu najpierw policzymy pochodne poszczególnych składników funkcji:
+
+$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \left(\frac{2}{\sqrt[6]{x^{5}}}-\frac{x}{3}+\frac{\sqrt[4]{x^{3}}}{2}\right)$
+
+$= \frac{dy}{dx} \left(\frac{2}{\sqrt[6]{x^{5}}}\right) - \frac{dy}{dx} \left(\frac{x}{3}\right) + \frac{dy}{dx} \left(\frac{\sqrt[4]{x^{3}}}{2}\right)$
+
+$= \frac{1}{(\sqrt[6]{x^{5}})^2} \cdot \frac{dy}{dx} \left(\sqrt[6]{x^{5}}\right) - \frac{1}{3} \cdot \frac{dy}{dx}(x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{dy}{dx} \left(\sqrt[4]{x^{3}}\right)$
+
+$= \frac{1}{(\sqrt[6]{x^{5}})^2} \cdot \frac{dy}{dx} \left(\sqrt[6]{x^{5}}\right) - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{dy}{dx} \left(\sqrt[4]{x^{3}}\right)$