vault backup: 2023-10-03 08:10:20

AMiAL/ICT/Ćwiczenia/Zadania/ciagi_gr/Zadanie 1.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+# Zbadać monotoniczność podanych ciągów
+## (1)
+$$\begin{aligned}
+a_{n}&=2n^{2}+4n \\
+a_{n+1}&= 2(n+1)^{2}+4(n+1)\\
+a_{n+1}&= 2n^{2}+4n+2+4n+4 \\
+a_{n+1}&= 2n^{2}+8n+6 \\
+a_{n+1}-a_{n}&= 2n^{2}+8n+6-(2n^{2}+4n)\\
+a_{n+1}-a_{n}&=4n+6
+\end{aligned}$$
+Ciąg jest monotoniczny, wszystkie jego wyrazy są dodatnie.
+## (2)
+$$\begin{aligned}
+a_n&=n^{2}-8n+15\\
+a_{n+1}&=(n+1)^{2} - 8(n+1)+15 \\
+a_{n+1}&=n^{2}-6n+8 \\
+a_{n+1}-a_{n}&=(n^{2}-6n+8)-(n^{2}-8n +15)\\
+a_{n+1}-a_{n}&=2n-7
+\end{aligned}$$
+Ciąg jest niemonotoniczny, ponieważ znaki się zmieniają w jego trakcie.
+
+## (3)
+$$\begin{aligned}
+a_{n}&= \tfrac{n-1}{n+3} \\
+a_{n+1}&=\tfrac{n+1-1}{n+1+3} \\
+a_{n+1}&=\tfrac{n}{n+4}\\
+a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n}{n+4}-\tfrac{n-1}{n+3}\\
+a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n(n+3)}{(n+4)(n+3)}-\tfrac{(n+4)(n-1)}{(n+3)(n+4)} \\
+a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n^{2}+3n}{n^{2}+7n+12}-\tfrac{n^{2}-3n-4}{n^{2}+7n+12}\\
+a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{n^{2}+3n-(n^{2}-3n-4)}{n^{2}+7n+12}\\
+a_{n+1}-a_{n}&=\tfrac{6n+4}{n^{2}+7n+12}\\
+\end{aligned}$$
+Ciąg jest monotoniczny; dąży do 0
+## (4)
+## (5)
+## (6)
+## (7)