vault backup: 2023-03-10 11:43:10

AiSD/Ćwiczenia/1. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych.md

@@ -0,0 +1,86 @@
+---
+Date: [20230310110354]
+---
+# Problem Rekurencyjny - Wieża Hanoi
+
+
+|n|T(n)|
+|-|-|
+|1|1|
+|2|3|
+|3|7|
+|4|15|
+|...|...|
+|10|1023|
+
+$$T(n)=\begin{cases}0\ dla\ n=0\\2\cdot T_{n-1} + 1\ dla\ n>0 \\ \end{cases}$$
+
+$$T_{n+1}=2^{n+1}-1$$
+$$L=T_{n+1}=2\cdot T_{n}+1=2\cdot(2^{n}-1)+1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1=P$$
+# Sumy
+## Notacja
+$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{1\leqslant k\leqslant n}a_k$$
+## Własności
+$$\begin{aligned}
+&\sum\limits_{k\in K}ca_{k}=c\sum\limits_{k\in K}a_{k}\\\\
+&\sum\limits_{k\in K}(a_{k}+b_{k})=\sum\limits_{k\in K}a_{k}+\sum\limits_{k\in K}b_{k}\\\\
+&\sum\limits_{k\in K}a_{k}=\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)}
+\end{aligned}$$
+## Suma ciągu arytmetycznego
+$$\sum\limits_{k=0}^{n}a+bk=\cfrac{a+(a+bn)}{2}(n+1)$$
+## Suma ciągu geometrycznego
+$$\sum\limits_{0\leqslant k\leqslant n}aq^{k}=a\cfrac{1-q^{n-1}}{1-q}, q\ne 1$$
+## Sumy jako równania rekurencyjne
+$$
+S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\begin{cases}
+a_{0},\ gdy\ n=0 \\
+S_{n-1}+a_{n},\ gdy\ n>0
+\end{cases}
+$$
+# Szereg harmoniczny, n-ta liczba harmoniczna
+$$H_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\approx\ln n+\gamma$$
+$$\lim_{n\rightarrow\infty}(H_{n}-\ln n)=\gamma\approx0.5772156$$
+
+# Problem rekurencyjny - metody
+## Indukcja Matematyczna
+1) $\exists_{n_{0}\in N}$ P($n_0$) jest zdaniem prawdziwym
+2) $\forall _{n\geqslant n_{0}}$ prawdziwa jest implikacja P($n$) $\Rightarrow$ P($n+1$)
+$$\Downarrow$$
+$\forall _{n\geqslant n_{0}}$ P(n)jest zdaniem prawdziwym
+
+
+$$\begin{gathered}
+1+2+3+4+n=\cfrac{1+n}{2}n\\
+1) n_{0}=1 \Rightarrow 
+\end{gathered}$$
+$$1+3+2n-1=n^{2}$$
+$$1^{2}+2^{2}+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
+## Zmienna Pomocnicza
+$$\begin{aligned}
+T_{n}+1&=\begin{cases}
+1\ dla\ n=0\\
+2\cdot(T_{n-1}+1)\ dla\ n>0
+\end{cases}
+\\
+U_{n}&=T_{n}+1\\
+U_{n-1}&=T_{n-1}+1
+\end{aligned}$$
+## Metoda zaburzania / perturbacji
+$$
+\begin{gathered}
+
+
+S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}(a_{k})=a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n}\\
+\sum\limits^{n}_{k=0}a_{k}+a_{n+1}=a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n}+a_{n+1}=a_{0}+\sum\limits^{n}_{k=0}a_{k+1}
+\end{gathered}
+$$
+## Równania rekurencyjne jako sumy
+## Metoda czynnika sumacyjnego
+$$aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA$$
+
+
+
+
+
+# Zadania Domowe
+$$S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}k\cdot2^{k}$$