29 lines
1.0 KiB
Markdown
29 lines
1.0 KiB
Markdown
pl:88
|
|
## Wzór Moivre'a:
|
|
$z^n = r^n(\cos(n\phi)+i \sin(n\phi))$ gdzie $n\in\mathbb{N}$ oraz $z\ne0$
|
|
|
|
Liczbę $w \in \mathbb{C}$ nazywamy pierwiastkiem stopnia n-tego($n\in\mathbb{N}$) z liczby $z\in\mathbb{C}$ jeśli $z^n = w$
|
|
|
|
## Twierdzenie:
|
|
- Każda liczba zespolona różna od 0 ma dokładnie n pierwiastków stopnia n
|
|
- Pierwiastki stopnia n z danej różnej od 0 liczby zespolonej leżą na okręgu o środku w liczbie 0 i promieniu $\sqrt[n]{|z|}$ jeśli połączymy te pierwiastki, otrzymamy n-kąt foremny.
|
|
|
|
|
|
> [!NOTE] Zasadnicze Twierdzenie Algebry
|
|
> Każdy wielomian stopnia $n$ o współczynnikach zespolonych ma $n$ pierwiastków zespolonych
|
|
|
|
$z=\frac{-b\pm\Delta_0}{2a}$
|
|
$$
|
|
\begin{gathered}
|
|
|
|
z^{2}+6iz-9+2i=0 \\
|
|
\Delta = (+6i)^2-4*1*(-9+2i)=-36+36-8i=-8i \\
|
|
|\Delta| = 8 \\
|
|
\arg(\Delta) = \frac{3\pi}{2} \\
|
|
\Delta_{0}= \sqrt{8}(\cos-\frac{\frac{3\pi} {2}}{2}+i \sin\frac{\frac{3\pi}{2}}{2})=2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=-2+2i
|
|
\\\\
|
|
z_{0}= \frac{-6i-(-2+2i)}{2} = 1-4i\\
|
|
z_{1}= \frac{-6i+(-2+2i)}{2} = -1-2i
|
|
\end{gathered}
|
|
$$
|