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AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Pochodne/Zadanie 1.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-# Na podstawie definicji obliczyć pochodną funkcji f w podanym punkcie x_0.
+# Na podstawie definicji obliczyć pochodną funkcji f w podanym punkcie $x_0$.
 ## 1
 $f(x)=2x-x^{2},gdzie\  x_0=1$
 $f'(x)=2-2x$
@@ -22,9 +22,45 @@ $f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$
 $f'(x_{0})=-\frac{1}{4}$
 ## 6
 $f(x)=\sqrt{1+2x},\ x_{0}=4$
-$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+2x}}$
-$f'(x_{0})=\frac{1}{6}$
+$f(x)=(1+2x)^{\frac{1}{2}}$
+$f'(x)=\cfrac{\frac{1}{2\sqrt{1+2x}}}{2}$
+$f'(x_{0})=\frac{1}{3}$
 ## 7
 $f(x)=3+2\sqrt{4x-1},\ x_{0}=2\frac{1}{2}$
-$f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{4x-1}}$
-$f'(x_{0})=\frac{1}{2}$
+$f'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{4x-1}}\cdot 4$
+$f'(x_{0})=\frac{4}{3}$
+## 8
+$f(x)=\frac{1}{x^{2}},\ x_{0}=1$
+$f'(x)=-\frac{2}{x^3}$
+$f'(x_{0})=-2$ 
+## 9
+$f(x)=\frac{2}{x^{3}},\ x_{0}=-1$
+$f(x)=2(x^{-3})$
+$f'(x)=-\frac{6}{x^{4}}$
+$f'(x_{0})=-6$
+## 10
+$f(x)=\sqrt{x^{2}-1},\ x_{0}=-3$
+$f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}} \cdot 2x$
+$f'(x_{0})=\frac{-6}{4\sqrt{2}}=\frac{-3}{2\sqrt{2}}$
+## 11 
+$f(x)=\sqrt{2x^{2}+1},\ x_{0}=2$
+$f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{2x^{2}+1}} \cdot 4x$
+$f'(x_{0})=\frac{4}{3}$
+## 12
+$f(x)=\sin{x},\ x_{0}=\frac{\pi}{2}$
+$f'(x)=\cos x$
+$f'(x_{0})=0$ 
+## 13
+$f(x)=\cos{x},\ x_{0}=\frac{\pi}{2}$
+$f'(x)=-\sin x$
+$f'(x_{0})=-1$ 
+## 14
+$f(x)=\sin{x^2},\ x_{0}=0$
+$f'(x)=\cos x^{2}\cdot 2x$
+$f'(x_{0})=0$
+## 15
+$f(x)=\sin\sqrt{x},\ x_{0}=0$
+$f'(x)=\cos\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$
+$f'(x_{0})=1\cdot\frac{1}{0}=brak\ rozwiązania$
+
+

AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Pochodne/Zadanie 2.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+# Wyznaczyć pochodne podanych funkcji.
+## 1
+$y=(3-x^{4})^{2}$
+$y'=2(3-x^{4})\cdot(-4x^{3})=(6-2x^{4})\cdot(-4x^{3})=-24x^{3}+8x^{7}$
+## 2
+$y=1-\frac{4}{x^6}+\frac{3}{x^7}$
+$y'=-4\cdot-6x^{-7}+3\cdot-7x^{-8}=\frac{24}{x^{7}}-\frac{21}{x^{8}}$
+## 3
+$y=\cfrac{x^{2}+4}{x}$
+$y'=\cfrac{1}{x^{2}}\cdot\left(2x^{2}-(x^{2}+4)\right)=\cfrac{x^{2}-4}{x^{2}}=1-\cfrac{4}{x^2}$
+## 4 
+$y=\cfrac{x-3}{x^{2}}$
+$y'=\cfrac{1}{x^{4}}\cdot\left(x^{2}-2x^{2}+6x\right)=\cfrac{6x-x^{2}}{x^{4}}=\cfrac{6-x}{x^3}$
+## 5
+$y$
+## 7
+$y=\cfrac{x^{5}+x^{3}+x}{\sqrt{x}}$
+$y'=\cfrac{1}{x}\left((x^{5}+x^{3}+x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-(5x^{4}+3x^2+1)\cdot\sqrt{x}\right)$
+

AMiAL/Ćwiczenia/Zadania/Różniczki/Zadanie 1.md

@@ -0,0 +1,46 @@
+# Korzystając z różniczki wyznaczyć przybliżoną wartość wyrażenia.
+## 1 
+$\sqrt{2.01^{4}+9}=\left.5+df\right|_{(x_{0})}$
+$x_0=2$
+$\Delta x = 0.01$
+$f(x)=\sqrt{x^4+9}$
+$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{4}+9}}\cdot4x^{3}$
+$f'(x_{0})=3.2$
+$\left.df\right|_{x_{0}}=3.2\cdot0.01=0.032$
+$\sqrt{2.01^{4}+9}\approx5.032$
+## 2 
+$(0.98^{2}+2)^3=27+\left.df\right|_{(x_{0})}$
+$x_{0}=1$
+$\Delta x=-0.02$
+$f(x)=(x^{2}+2)^3$
+$f'(x)=3(x^{2}+2)^{2}\cdot2x$
+$f'(x_{0})=54$
+$\left.df\right|_{x_{0}}=54\cdot(-0.02)=-1.08$
+$(0.98^{2}+2)^{3}=27+(-1.08)=25.92$
+## 3
+$\cfrac{4\cdot2.03+1}{2.03^{2}-2}=\frac{9}{2}+\left.df\right|_{(x_{0})}$
+$x_{0}=2$
+$\Updelta x=0.03$
+$f(x)=\cfrac{4x+1}{x^{2}-2}$
+$f'(x)=\cfrac{1}{\left(x^{2}-2\right)^{2}}\cdot\left(4\cdot(x^{2}-2)-(4x+1)\cdot2x\right)$
+$f'(x_{0})=-\cfrac{28}{4}=-7$
+$\left.df\right|_{(x_{0})}=-7\cdot0.03=-0.21$
+$\cfrac{4\cdot2.03+1}{2.03^{2}-2}=4.5+(-0.21)=4.29$
+## 4
+$\ln(1+\ln 1.01)=0+\left.df\right|_{x_{0}}$
+$f(x)=\ln(1+\ln x)$
+$x_{0}=1$
+$\Delta x=0.01$
+$f'(x)=\cfrac{1}{1+\ln x}\cdot\cfrac{1}{x}$
+$f'(x_{0})=1$
+$\left.df\right|_{x_{0}}=0.01$
+$\ln(1+\ln 1.01)=0+0.01=0.01$
+## 5
+$0.99\cdot\cos(0.99\pi)=-1+\left.df\right|_{x_{0}}$
+$f(x)=x\cdot\cos(x\pi)$
+$x_0=1$
+$\Delta x = -0.01$
+$f'(x)=cos(x\pi)+x\cdot(-\sin(\pi x)\cdot\pi)$
+$f'(x_{0})=\cos(\pi)-\pi(\sin\pi)=-1$
+$\left.df\right|_{x_{0}}=-1\cdot(-0.01)=0.01$
+$0.99\cdot\cos(0.99\pi)=-0.99$